97国际游戏app-专题03 二元一次方程组的应用（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·专练》（苏科版新教材）

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　　专题03 二元一次方程组的应用（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版新教材）

　　专题03 二元一次方程组的应用（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版新教材）

　　专题03 二元一次方程组的应用 （十一大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】...................................................................... .1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】....................................................................3 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】........................................................................6 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】........................................................................8 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】........................................................................9 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】........................................................................11 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】........................................................................13 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】......................................................................14 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】............................................................15 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】....................................................................18 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】......................................................................19 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 2．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 4．一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 5．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 6．某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 7．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 8．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 9．已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 10．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 11．为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 12．用方程或方程组解决问题： 某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 13．雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度． 14．小明和小华两人同时骑自行车从甲地到乙地，小明每小时比小华多行2千米，小明先到达乙地后立即返回，在返回途中遇见小华，此时，他们已走了0.8小时，已知甲、乙两地相距8千米，求小华从甲地到乙地需要多长时间？ 15．小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 16．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 17．列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？ 18．列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 19．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 20．甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 21．一家商场进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，天可以完成，需付两个装修队费用共元；若先请甲装修队单独施工天，再请乙装修队单独施工天也可以完成，需付两个装修队费用共元． (1)求甲、乙两个单独装修一天，商场各应付多少元？ (2)若只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选______装修队，比另一装修队少花______元． 22．一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天． 23．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 24．某市举办花展，如图，在长为、宽为的长方形展厅里划出三个形状、大小完全一样的小长方形（阴影部分）摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（   ）m． A．16 B．13 C．12 D．20 25．将6个形状、大小完全相同的小长方形（每个小长方形如图①）放置在右侧的大长方形（如图②）中，已知尺寸如图所示（单位：），则图中阴影部分的总面积为（   ）      A．43 B．24 C．144 D．45 26．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 27．如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______． 28．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，根据图形回答下列问题． (1)求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？ (2)求大长方形的面积？ 29．如图，在大长方形中，放入8个一样的小长方形. (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图中阴影部分的面积为多少？ 30．数学活动实践课上，小辰先画了一个长为，宽为的长方形，然后又在该长方形中面了5个相同大小的小长方形（阴影部分），如图所示，求图中空白部分的面积．（列方程组解） 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 31．某校组织八年级学生赴博物馆进行综合实践活动．已知博物馆的文创商店推出了两款特色文创产品，若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元；若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元． (1)求该文创商店中甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校计划用元购买甲、乙两种文创产品（两种都要购买），求该校共有几种购买这两种文创产品的方案？ 32．某电动车销售公司计划购进一批电动摩托车尝试进行销售，据了解1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元． (1)求甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为多少千元； (2)若该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 33．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 34．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 35．在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 36．一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？ 37．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数． 38．小明和小亮用两个正整数做加法游戏．小明在一个加数前面多写了一个1，得到的和为137；小亮在另一个加数的后面多写了一个1，得到的和为227．求原来的两个加数分别是多少？ 39．某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 40．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】 41．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 42．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 43．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 44．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是_________岁 45．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 46．随着农历丙午马年春节的临近，某中学计划采购一批具有生肖特色的剪纸作品作为期末表彰奖品，包括“金蛇狂舞”和“马到成功”两种款式．已知在某非遗文化商店，购买3套“金蛇狂舞”和2套“马到成功”共需190元：购买2套“金蛇狂舞”和3套马到成功共需210元． (1)求每套“金蛇狂舞”和“马到成功”剪纸作品的单价分别是多少元 (2)学校决定共购买这两种剪纸作品50套．由于“金蛇狂舞”是旧款，商店决定给予八折优惠，“马到成功”作为新款不打折．若学校的总预算恰好为1850元，那么学校购买了多少套马到成功剪纸？ 47．打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 48．为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． (1)请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ (2)这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 49．春节前夕，某商场用14500元购进某种矿泉水和无糖茶共500箱，它们的进价与售价如下表所示： 类别 进价/（元/箱） 售价/（元/箱） 矿泉水 无糖茶 (1)商场这次购进矿泉水和无糖茶各多少箱？ (2)该商场销售完这500箱矿泉水和无糖茶，可获利多少元？ 50．某商场购进商品后，加价作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元，两种商品原销售价之和为1200元，甲，乙商品进价分别为多少元？ 51．近年来，作为一种新兴的教育模式，研学旅行这种跨文化、体验式游学对于促进中小学生全面发展，推动基础教育改革，带动社会经济发展具有重要意义．为了让学生探索航空科学奥秘，感受航空科技魅力，某学校联系甲、乙两个旅游团分别组织教师和学生到一航空科普研学基地参观．甲旅游团安排15名教师和25名学生前往，门票共花费1225元；乙旅游团安排40名教师和100名学生前往，因人数较多，教师票九折，学生票八折，门票共花费3440元． (1)问该研学基地教师票和学生票原价每张各多少元？ (2)若该学校联系一个旅游团一次性组织全部的教师和学生进行参观，甲旅游团可按照教师票的七五折进行购票，乙旅游团购票方式不变，此时选择哪个旅游团更优惠？请通过计算进行说明． 52．“重百”、“沃尔玛”两家超市出售 同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元． (1)请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） (2)为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． 53．吉林市第二十三中创办于1963年，为迎接63周年校庆，学校想订购一批具有纪念意义的校庆校徽和纪念卡．已知制作3个校徽和4个纪念卡需要27元，制作6个校徽和5个纪念卡需要45元，请问： (1)制作校徽和纪念卡的单价； (2)学校计划制作校庆校徽1000个，纪念卡3000张在校庆当日送给校友．甲工厂规定：无论制作数量多少，一律打九折；乙工厂规定：当校徽和纪念卡制作总数超过2000时，校徽打九折，纪念卡超过2000部分打八折．为了节约经费应该选择去哪个工厂制作？ 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】 54．在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组（    ） A． B． C． D． 55．《九章算术》中有这样一道题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则列方程组正确的是 A． B． C． D． 56．《九章算术》中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 57．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（   ） A． B． C． D． 58．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】 59．利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度为（    ） A． B． C． D． 60．在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 61．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫作幻和．如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，请你推算出的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 62．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上区域所得分值和区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，小丽的5次飞镖总分为（        ）分． A．37 B．38 C．39 D．40 63．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将6个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ）    A． B． C． D． 64．某市举行中学生篮球比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，本次篮球比赛没有平局．若某队在10场比赛中得到17分，设这个队胜场，负场，则，的值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的应用 （十一大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】...................................................................... .1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】....................................................................4 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】.......................................................................10 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】.......................................................................13 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】........................................................................16 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】........................................................................20 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】........................................................................25 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】......................................................................28 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】............................................................31 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】....................................................................37 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】......................................................................40 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 【答案】辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨 【分析】设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨，根据题干中的相等关系列二元一次方程组求解． 【详解】解：设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨． 2．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 4．一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 【答案】分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架，根据题意列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架， 由题意，得，解得， 答：分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架． 5．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【答案】租住了三人间8间、双人间13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设三人间有a间，双人间有b间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住了三人间8间、双人间13间． 6．某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 【答案】应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套 【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套， 由题意得： ， 解得：， 答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 7．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． (2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． （2）依题意，得：， ． ，均为非负整数， ，，， 该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆． 方案1所需租金：（元， 方案2所需租金：（元， 方案3所需租金：（元． ， 方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金． 8．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 9．已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 【答案】，表格见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及有理数的加法，利用已知条件列出方程组是解题的关键． 利用已知条件列出方程组求解，然后根据表格填写数据即可． 【详解】解：∵图中各行、各列及对角线个数之和都相等， ∴． 解得， ∴， ∴各行、各列及对角线．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见解析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设九年级活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 11．为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 【答案】(1)基本价为2元，市场价为元 (2)70元 【分析】（1）设每吨水的基本价为元，市场价为元，根据小明家3、4月份的用水量及收费费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据应交水费基本价月份用水量市场价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每吨水的基本价为元，市场价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每吨水的基本价为2元，市场价为元． （2）（元）． 答：他家应交水费70元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用；（2）根据数量关系，列式计算． 12．用方程或方程组解决问题： 某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 【答案】捐5元有2人，捐10元有13人 【分析】设捐5元有人，捐10元有人，根据总人数为30人，总捐款为300元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐5元有人，捐10元有人， 由题意得：， 解得， 答：捐5元有2人，捐10元有13人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 13．雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度． 【答案】小汽车的速度为，客车的速度为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可． 设小汽车的速度为，客车的速度为，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时， 由题意得：， 解得：， 答：小汽车的速度为，客车的速度为． 14．小明和小华两人同时骑自行车从甲地到乙地，小明每小时比小华多行2千米，小明先到达乙地后立即返回，在返回途中遇见小华，此时，他们已走了0.8小时，已知甲、乙两地相距8千米，求小华从甲地到乙地需要多长时间？ 【答案】小华从甲地到乙地需要小时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出相等关系是解题的关键． 设小明的速度是千米/时，小华的速度为千米/时，根据题意列出二元一次方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设小明的速度是千米/时，小华的速度为千米/时， 由题意可列方程组， 解得 小华从甲地到乙地需要（小时）． 答：小华从甲地到乙地需要小时． 15．小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键． 设小敏步行所用的时间分别为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，根据小敏步行时的平均速度是每小时 4 千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时 12 千米，列出方程组，即可得到结论． 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 16．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【答案】甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲跑一圈各需要x分钟，乙跑一圈各需要y分钟，根据相遇问题和追击问题的等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲跑一圈各需要x分钟，乙跑一圈各需要y分钟，根据题意得： ， 解得：， 答：甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟． 17．列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？ 【答案】0.7千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组，解方程求出x，y即可． 【详解】解：设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：小明家与学校的距离是0.7千米． 18．列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【答案】骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 19．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 20．甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 【答案】这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件，由题意得，然后解方程组即可，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件， 由题意得， 解得：， 则甲一天做，乙一天做， 答：这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 21．一家商场进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，天可以完成，需付两个装修队费用共元；若先请甲装修队单独施工天，再请乙装修队单独施工天也可以完成，需付两个装修队费用共元． (1)求甲、乙两个单独装修一天，商场各应付多少元？ (2)若只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选______装修队，比另一装修队少花______元． 【答案】(1)元，元 (2)乙， 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）设甲每天费用为元，乙每天费用为元，根据题意可得等量关系：①甲、乙两个工程队同时施工，天可以完成，需付两队费用共元；②甲队单独做天，再请乙队单独做天可以完成，需付两队费用共元，根据费用列出方程组，解方程组即可； （2）设甲每天完成，乙每天完成，根据题意可得等量关系：①甲和乙天的工作量，②甲天的工作量乙天的工作量，根据等量关系列出方程组，求解可得甲和乙的工作效率，再求费用即可． 【详解】（1）解：设甲每天费用为元，乙每天费用为元，由题意得： ， 解得． 答：甲每天的费用为元，乙每天的费用为元． （2）解：设甲每天完成，乙每天完成，由题意得： ， 解得， 所以甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成． 甲单独做需要元，乙单独做需要元． ∴只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选乙装修队，比另一装修队少花元 22．一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天． 【答案】甲、乙两队先合作了4天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天，根据题意列出二元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天．根据题意，得 解得 答：甲、乙两队先合作了4天． 23．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 24．某市举办花展，如图，在长为、宽为的长方形展厅里划出三个形状、大小完全一样的小长方形（阴影部分）摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（   ）m． A．16 B．13 C．12 D．20 【答案】A 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图形可得，解得：， 小长方形的长为，宽为， 每个小长方形的周长为． 25．将6个形状、大小完全相同的小长方形（每个小长方形如图①）放置在右侧的大长方形（如图②）中，已知尺寸如图所示（单位：），则图中阴影部分的总面积为（   ）      A．43 B．24 C．144 D．45 【答案】A 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中含有阴影部分的总面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 根据题意得， 解得， 图中含有阴影部分的总面积为． 26．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长和宽为未知数，根据大长方形的长和宽的等量关系列出方程组，求解得出小长方形的宽，即为的长度． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形列方程组得：， 解得：， 根据图形关系：， ∴的长为． 27．如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形和题意列出方程组求出的值，进而即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得， ∴一个小长方形的面积为． 28．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，根据图形回答下列问题． (1)求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？ (2)求大长方形的面积？ 【答案】(1)每个小长方形地砖的长是，宽是 (2)面积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每个小长方形地砖的长是，宽是，根据图形列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）由图知大长方形的长是，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个小长方形地砖的长是，宽是， 则由图知， 解得， 所以每个小长方形地砖的长是，宽是； （2）解：由图知大长方形的长是， 则面积是． 29．如图，在大长方形中，放入8个一样的小长方形. (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设每个小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解方程组即可； （2）用大长方形的面积减去小长方形的面积，得出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：设每个小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得， 答：每个小长方形的长和宽分别为，． （2）解：每个小长方形的长和宽分别为，， 题图中阴影部分的面积为： ， 答：题图中阴影部分的面积为． 30．数学活动实践课上，小辰先画了一个长为，宽为的长方形，然后又在该长方形中面了5个相同大小的小长方形（阴影部分），如图所示，求图中空白部分的面积．（列方程组解） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形找出等量关系列方程组可得，求解得出长方形的长和宽，再求出空白部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形找出等量关系列方程组可得 ①－②，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以这个方程组的解是， 所以图中空白部分的面积是：． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 31．某校组织八年级学生赴博物馆进行综合实践活动．已知博物馆的文创商店推出了两款特色文创产品，若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元；若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元． (1)求该文创商店中甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校计划用元购买甲、乙两种文创产品（两种都要购买），求该校共有几种购买这两种文创产品的方案？ 【答案】(1)甲种文创产品的单价为元/件，乙种文创产品的单价为元/件 (2)该校共有种购买这两种文创产品的方案 【分析】本题考查了列二元一次方程或方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程（组）； （1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列方程，并求其特殊解即可． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价为元/件，乙种文创产品的单价为元/件， 根据题意得： 解得 答：甲种文创产品的单价为30元/件，乙种文创产品的单价为25元/件． （2）解：设学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件， 根据题意，得， 整理，得． 因为、均为正整数， 所以或或 所以该校共有种购买这两种文创产品的方案． 32．某电动车销售公司计划购进一批电动摩托车尝试进行销售，据了解1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元． (1)求甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为多少千元； (2)若该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为 24千元和7千元 (2)该公司只有一种购买方案：购买甲型号电动摩托车4辆，乙型号电动摩托车12辆 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为千元，根据“1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元” 列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买甲种型号的电动摩托车辆，乙种型号的电动摩托车辆，根据“该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买）”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为千元， 由题意得：， 解得：， ∴甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为 24千元和7千元； （2）解：设购买甲种型号的电动摩托车辆，乙种型号的电动摩托车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵均为正整数， ∴， ∴该公司共有一种购买方案：购买甲种型号的电动摩托车4辆，乙种型号的电动摩托车12辆． 33．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套 (2)有2种方案：①购进A品牌2套、B品牌10套，获利2.3万元；②购进A品牌6套、B品牌5套，获利1.9万元；获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键． （1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可； （2）根据题意设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有2种进货方案，然后求出利润，比较大小可确定出获利最高的方案． 【详解】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得， ， 解得，， 经检验，符合题意， 答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套； （2）解：设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套， 由题意得，， ∵a，b均为正整数， ∴此方程的解为： ，或， 综上所述，有2种方案： ①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套． 获利：万元； ②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套． 获利：万元． ∵， ∴获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套． 34．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹 (2)有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【分析】（）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 35．在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 【答案】(1) 大号钟振动频率为，小号钟振动频率为 (2) 共有三种采购方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目信息建立等式． （1）设小号钟振动频率为，通过建立方程求解即可； （2）通过列二元一次方程并寻找正整数解得到方案即可． 【详解】（1）解：设小号钟振动频率为，则大号钟振动频率为， 根据题意，， 即， 解得， ∴大号钟振动频率为HZ， ∴大号钟振动频率为，小号钟振动频率为． （2）解：设采购A材料张，B材料桶，其中和均为正整数， 根据题意，， 简化得， 即， 由于为正整数，必须为整数，故为3的倍数， 尝试值： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（无效）， 因此共有三种方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 36．一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？ 【答案】 【分析】设这个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为；根据题意列二元一次方程组，求解进而得到两位数的值． 【详解】解：设这个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为； 由题意可得 消元解得 这个两位数为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键与难点是正确的列方程组． 37．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数． 【答案】这个两位数为36 【分析】设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，然后根据题意可直接列方程组进行求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，由题意得： ， 解得：， ∴这个两位数为36． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程的应用是解题的关键． 38．小明和小亮用两个正整数做加法游戏．小明在一个加数前面多写了一个1，得到的和为137；小亮在另一个加数的后面多写了一个1，得到的和为227．求原来的两个加数分别是多少？ 【答案】16，21 【分析】一个加数前面多写了一个1，实际上这个加数增加100，后面多写一个1，实际就是这个加数扩大了10倍后加上1．两个等量关系为：100+一个加数+另一个加数=137；一个加数+10×（另一个加数）+1=227． 【详解】解：设一个加数为x，另一个加数为y． 根据题意， 解得：， 答：原来两个加数分别是16，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是弄清在后面或前面多写一个1的不同意义． 39．某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 【答案】 【分析】设十位数字为，个位数字为，通过看到的里程碑上的数字关系列方程，再用含与的代数式表示与看到的数，利用等量关系列方程 即可． 【详解】解：设他看到的数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数可以表示为． 由题意，得 解得 故他看到的两位数是． 答：他看到的两位数是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用：里程碑上的数的问题，掌握两位数与数字关系是解题的关键． 40．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】 41．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 42．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 43．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 44．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是_________岁 【答案】15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据爷爷及小雅的年龄之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设小雅的爷爷是岁，小雅是岁， 由题意，得： 解得： 所以小雅的年龄是15岁． 故答案为：15． 45．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 46．随着农历丙午马年春节的临近，某中学计划采购一批具有生肖特色的剪纸作品作为期末表彰奖品，包括“金蛇狂舞”和“马到成功”两种款式．已知在某非遗文化商店，购买3套“金蛇狂舞”和2套“马到成功”共需190元：购买2套“金蛇狂舞”和3套马到成功共需210元． (1)求每套“金蛇狂舞”和“马到成功”剪纸作品的单价分别是多少元 (2)学校决定共购买这两种剪纸作品50套．由于“金蛇狂舞”是旧款，商店决定给予八折优惠，“马到成功”作为新款不打折．若学校的总预算恰好为1850元，那么学校购买了多少套马到成功剪纸？ 【答案】(1)“金蛇狂舞”单价30元，“马到成功”单价50元 (2)学校购买了25套“马到成功”剪纸 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，理解题意，找准关系量是解题的关键． （1）设每套“金蛇狂舞”单价为元，每套“马到成功”单价为元，再列方程组并求解即可； （2）设学校购买了套“马到成功”剪纸，则购买了套“金蛇狂舞”剪纸，再根据预算列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每套“金蛇狂舞”单价为元，每套“马到成功”单价为元， 则，解得， 答：“金蛇狂舞”单价30元，“马到成功”单价50元； （2）解：设学校购买了套“马到成功”剪纸，则购买了套“金蛇狂舞”剪纸， “金蛇狂舞”打折后的单价为24元，“马到成功”不打折单价为50元， ， 解得， 答：学校购买了25套“马到成功”剪纸． 47．打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【答案】(1)一件A商品16元，一件B商品4元 (2)折 (3)少花元 【分析】本题综合运用了二元一次方程组建模、解方程、折扣计算等知识点，关键在于准确列出等量关系，并理解“打折”是整体价格按比例减少的概念，适用于任意数量商品的统一折扣．本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及折扣问题的计算． （1）设没打折时，一件A商品元，一件B商品元，根据“买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元”列方程组求解即可； （2）设做活动时，商场商品打折，根据“该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元”列一元一次方程求解即可； （3）分别计算出不打折时总价和打折后总价，再求解即可． 【详解】（1）解：设没打折时，一件A商品元，一件B商品元， 由题意，得， 解得． 答：没打折时，一件A商品16元，一件B商品4元． （2）解：设做活动时，商场商品打折，由题意，得， 解得． 答：做活动时，商场商品打折． （3）解：不打折时总价为：（元）， 打折后总价为：（元）， 比不做活动时少花：（元）． 答：做活动时买100件A商品和100件B商品，比不做活动时少花80元钱． 48．为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． (1)请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ (2)这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 【答案】(1)甲型雪地靴生产了90双，乙型雪地靴生产了110双． (2)甲型雪地靴在卖出38双后开始打折销售． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双，根据题意列出方程，即可求解甲型和乙型雪地靴的生产数量； （2）根据利润和销售情况列方程求解甲型雪地打折前的销售数量． 【详解】（1）解：设甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双． 根据题意， 解得： 答：甲型雪地靴生产了。